Question

已知过坐标原点的直线l与圆C：x²+y²﹣8x+12＝0相交于不同的两点A，B．

（1）求线段AB的中点P的轨迹M的方程．

（2）是否存在实数k，使得直线l₁：y＝k（x﹣5）与曲线M有且仅有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．（2）存在，k∈[，]∪{，}

【解析】

（1）根据垂径定理，CP⊥AB，即可求出P的轨迹的轨迹方程，但中点P在圆内，所以要确定P点轨迹方程在圆C范围内；

（2）由（1）得P的轨迹是一段弧，先直线l1与弧相切，用圆心到直线直线的距离等于半径求出k，然后考虑圆弧端点与（5,0）连线的斜率的范围，即得结论.

（1）设直线l的方程为y＝mx，

设P（x，y），圆C：x2+y2﹣8x+12＝0，

即为（x﹣4）2+y2＝4，则圆心为（4，0），半径为2，

∵点P为弦AB中点即CP⊥AB，

∴（x﹣4，y），（x，y），

∴•x（x﹣4）+y2＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，

当直线l与圆C相切时，圆心到直线l的距离为

2，解得m＝±，此时切点的横坐标为3，

当直线l过过圆心时，点P与圆心重合，此时点P的横坐标为x＝4，

故线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

（2）由（1）知点M的轨迹是以为（2，0）圆心，2为半径的一段弧，

当直线l1与曲线M相切时，由2，解得k＝±，

此时l1与曲线M的交点的横坐标为，故k＝±符合，

当直线l1与曲线交点的横坐标为3时，则交点的纵坐标为±，

此时直线l1的斜率为k＝±，

∵线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝4，（3＜x≤4）．

∴要使直线直线l1：y＝k（x﹣5）与曲线M有且仅有一个交点，

只需要k，

综上所述当k∈[，]∪{，}时，

直线L：y＝k（x﹣5）与曲线M只有一个交点．