Question

某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x（单位：万件）与年促销费用t（单位：万元）之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润＝收入－生产成本－促销费用）

（1）请把该工厂2017年的年利润y（单位：万元）表示成促销费t（单位：万元）的函数；

（2）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题（1）通过表示出年利润，并化简整理，代入整理即可求出万元表示为促销费万元的函数；（2）根据已知代入（1）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大.

（Ⅰ）设反比例系数为（）.由题意有.

又时，，所以，，

则与的关系是（），

依据题意，可知工厂生产万件纪念品的生产成本为万元，促销费用为万元，则每件纪念品的定价为元/件，

于是，进一步化简，得（）.

因此工厂2017年的利润为（）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（），

当且仅当，即时取等号，

所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元.