Question

无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，是其中的三项，给出下列命题：

①对任意满足条件的，存在，使得一定是数列中的一项；

②存在满足条件的数列，使得对任意的，成立；

③对任意满足条件的，存在，使得一定是数列中的一项。

其中正确命题的序号为（    ）

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

Answer

A

【解析】

利用等差数列的公式，分别讨论前项和的具体项数，然后进行推理即可，首先根据条件得出；①能被整除，且为，假设和之间有项，那么和之间有项，得出结论；

②利用等差数列的前项和公式化简，得出结论；

③不能被整除，如果，那么一定不是数列中的一项，得出结论.

要使等差数列的公差最大，则为相邻的前项和，此时对应两项为，，所以．

①能被整除，且，假设和之间有项，

那么和之间有项，所以一定是数列中的一项，所以①正确；

②如果有，那么由等差数列求和公式有：，化简得到，，所以只要满足条件的数列，

就能使得对任意的，成立，所以②正确；

③不能被整除，如果，那么一定不是数列中的一项，所以③错误．

综上可得：只有①②正确.

故选：A.