Question

在等差数列中，，．令，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式;

（2）求数列的前项和；

（3）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根据等差数列的通项公式求得首项的值，则易求数列的通项公式；

（2）利用裂项法求得数列的通项公式，则易求得；

（3）假设存在正整数，使得成等比数列，结合等比数列的性质得到，从而求得符合条件的的值.

（1）设数列的公差为，由得,

解得，

（2），

.

（3）由（2）知，，，，

假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，

则 ， 即 ,经化简，得

, （*）

当时，（*）式可化为 ，所以

当时，

又，（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.