Question

设函数.

(1)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数a,b的值;

(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数的取值范围.

Answer

(1).(2)

【解析】

(1) 由曲线与在它们的交点处有相同的切线，可得,且，可得a，b的值.

(2) 当时,可得,可得，令,解得，所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,故在区间上单调递增,在区间上单调递减，由在区间内恰有两个零点，列出关于a的不等式，可得a的取值范围.

解:(1)因为

所以,

因为曲线与在它们的交点处有相同的切线,

所以,且,即,且,

解得.

(2)当时,,

所以

令,解得.

当x变化时,,的变化情况如下表:

x

a

+

0

-

0

+

极大值

极小值

所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,

故在区间上单调递增,在区间上单调递减.

又函数在区间内恰有两个零点,所以有

,即

解得,所以实数a的取值范围是.