Question

如图，长方体中，，，，点分别在上，

（1）求直线与所成角的余弦值；

（2）过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）连接，或其补角即为所求；

（2）根据在棱上找出点使得，体积之比转化为面积之比.

（1）连接，长方体中，，

所以四边形是平行四边形，所以与平行且相等，

所以与平行且相等，所以四边形为平行四边形，

所以，

直线与所成角就是或其补角，

，，

在中，由余弦定理，

，

所以直线与所成角的余弦值为；

（2）设过点的平面与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形，

则，

作于，作于，

所以，所以图中只能点在点的右侧，

平面把该长方体分成的两部分为直棱柱和直棱柱，两个直棱柱的高相等，

两部分体积之比为.