Question

椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，过坐标原点的直线交于两点，，面积的最大值为

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆上与不重合的一点，证明：直线的斜率之积为定值；

（3）当点在第一象限时，轴，垂足为，连接并延长交于点，求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据求出a，根据面积关系求出b；

（2）设出点与的坐标，满足椭圆方程，计算两个斜率之积即可得到定值；

（3）先证明是直角三角形，用直角边乘积的一半表示面积，结合基本不等式或勾型函数求面积最值.

（1）由题可设椭圆的方程，

，，

设，

面积，

最大值为2，即，解得，

所以椭圆的方程为：；

（2）设是椭圆上与不重合的一点，

，，两式作差：，

即：

则直线的斜率之积，

所以直线的斜率之积为定值；

（3）点在第一象限，，设直线的方程，

由得：，

得，，

直线的斜率，其方程为，

由得：

设，则是方程的两个根，由韦达定理：

，

，即，

所以，

所以的面积

，设，当且仅当时，，

，

根据勾型函数性质：函数单调递增，

所以当时，取得最小值，

取得最大值，

即当时，的面积取最大值.