Question

设（、为实常数）.

（1）当时，证明：不是奇函数；

（2）设是奇函数，求与的值；

（3）当是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集，对任何属于的、，都有成立？若存在试找出所有这样的；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）或；（3）存在，.

【解析】

（1）举出反例即可，只要检验，可说明不是奇函数；

（2）由题意可得，即对定义域内任意实数成立.整理可求、；

（3）当时，，由指数函数的性质可求，由二次函数的性质可求，可求当时，，当时，；当时，，结合二次函数的性质可求的范围，即可求解.

（1）举出反例即可：，，，

所以，函数不是奇函数；

（2）是奇函数时，，

即对定义域内任意实数成立.

化简整理得，这是关于的恒等式，

所以所以或，经检验都符合题意；

（2）当时，，

因为，所以，，从而；

而对任何实数成立；

所以可取对任何、属于，都有成立.

当时，，

所以当时，；当时，；

①因此取，对任何、属于，都有成立；

②当时，，解不等式得：.

所以取，对任何属于的、，都有成立.