已知函数，其中．（1）试讨论函数的单调性；（2）若，试证明：．

已知函数，其中．

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，试证明：．

（1）在区间上为减函数；在区间上为增函数．（2）证明见解析【解析】（1）对函数进行求导得，再对分成和两种情况讨论，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于，再对分成和两种情况讨论. （1）由知：（i）若，，∴ 在区间上为增函数．（ii）若， ∴当时，有，∴ 在区间上为减函数．当时，有，∴ 在区间上为增函数．综上：当时，在区间上为增函数；当时，在区间上为减函数；在区间上为增函数．（2）若，则要证，只需证，即证：. （i）当时，，而 ∴此时成立. （ii）当时，令，， ∵ ，设，则，∴ ∴当时，单调递增，∴，即 ∴在单调递增，∴ 即，即， ∴ 综上：当时，有成立.

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考点分析：

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