Question

已知正项数列的前n项和为，数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，它的前n项和为，若存在正整数n，使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer

（1），；（2）或

【解析】

（1）由题意可得当时，，从而推出，则，从而可求出；

（2）易知，利用错位相减法求得，从而有不等式成立，对分奇偶数讨论，令，利用换元法化为二次函数，从而可求出答案．

【解析】
（1），

当时，，或（舍去）

当时，由，得，

两式相减得：，，

即，∴．

又∵数列为正项数列，故，也即，

∴数列为以1为首项1为公差的等差数列，

∴，；

（2）易知，则

①，

②，

①②可得：，

故，所以不等式成立，

若n为偶数，则，所以，

设，则在单调递减，

故当时，，所以；

若n为奇数，则，所以

设，则在单调递增，

故当时，，所以，

综上所述，的取值范围或.