Question

已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上.

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过（2,0）点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.

Answer

（1）(x－1)2＋(y＋2)2＝2；（2）x＝2或3x-4y-6＝0.

【解析】

（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程；

（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程.

(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则＝.

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C点坐标为(1，－2)，

半径r＝|AC|＝＝.

故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，

满足条件.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x—2），即 kx-y-2k=0

由题意得，解得k＝，

则直线l的方程为y＝（x-2）.

综上所述，直线l的方程为x＝2或3x-4y-6＝0.