Question

已知过抛物线x²＝2py(p>0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)两点，且|AB|＝9.

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若,求λ的值.

Answer

（1）x2＝8y；（2）λ＝0或λ＝2..

【解析】

（1）设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，根据弦长，求和抛物线方程；

（2）由（1）求得点的坐标，代入向量的坐标表示点的坐标，利用点在抛物线上，代入抛物线方程求的值.

(1)抛物线x2＝2py的焦点为，

所以直线AB的方程为，

由消去x得4y2－5py＋p2＝0，

所以y1＋y2＝，

由抛物线定义得|AB|＝y1＋y2＋p＝9，

即＋p＝9，所以p＝4.

所以抛物线的方程为x2＝8y.

(2)由p＝4知，方程4y2－5py＋p2＝0，

可化为y2－5y＋4＝0，

解得y1＝1，y2＝4，故x1＝－2，x2＝4.

所以A(－2，1)，B(4，4).

则＝(－2，1)＋λ(4，4)＝(－2＋4λ，1＋4λ).

因为C为抛物线上一点，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，

整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.