Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的一个端点为P，△PF₁F₂内切圆的半径为，设过点F₂的直线l与被椭圆C截得的线段为RS，当l⊥x轴时，|RS|＝3.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 若点M(0，m)，（），过点M的任一直线与椭圆C相交于两点A.B，y轴上是否存在点N（0，n）使∠ANM＝∠BNM恒成立？若存在，判断m、n应满足关系；若不存在，说明理由。

(3) 在（2）条件下m=1时，求△ABN面积的最大值。

Answer

（1）＋＝1；（2）答案不唯一，见解析；（3）.

【解析】

（1）由内切圆半径表示三角形的面积，可得，再由，求得椭圆方程；

（2）分轴和不垂直于轴时两种情况，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，直线与椭圆方程联立，，代入根与系数的关系，得到的关系；

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx＋1，也椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示面积，代入根与系数的关系，利用基本不等式求最值.

(1)由内切圆的性质，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，得＝.

将x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.

又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2) ①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.

联立方程消去y得，(3＋4k2)x2+8kmx+4m2-12＝0.（）

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，x1x2＝.

假设存在N（0，n）

则kAN＋kBN＝

＝

＝0.（*），对任意k∈R恒成立.

所以mn=3且m≠0.

m=0时由（*）式知不存在点N符合题意，

综上：m=0时不存在， 时存在点N（0,n），mn=3。

（3）由（2）得n=3 M(0，1).N（0，3）设直线AB的方程为y＝kx＋1.

由

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，x1x2＝.

，令则t ≥1,

当且仅当 t=1，k=0时 取的最大值。

所以△ABN面积的最大值为