Question

在正三棱锥中，已知底面等边三角形的边长为，侧棱长为．

（1）求证：；

（2）求此三棱锥的全面积和体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连．由是等边三角形，可得．再由，得．利用线面垂直的判定可得平面，进一步得到；

（2）记是等边三角形的中心，则平面．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．

【解析】
（1）证明：取的中点，连．

是等边三角形，

．

又，

．

，

平面，

则；

（2）【解析】
记是等边三角形的中心，则平面．

是边长为的等边三角形，

．

，，

，

；

．