Question

已知二次函数的值域为.

（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断此函数在的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；

（3）求出在上的最小值，并求的值域.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）根据题意，由二次函数的性质求出f（x）的对称轴，结合函数奇偶性的定义分析可得结论；

（2）根据题意，由二次函数的性质分析可得a＞0，设x1＜x2，由作差法分析可得结论；

（3）根据题意，分析可得ac＝4，按对称轴x对a分情况讨论，由二次函数的性质分析可得答案．

【解析】
（1）由题意知，二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c，其对称轴为x，

则f（x）的图象不关于y轴对称，也不关于点（0，0）对称，

故f（x）是非奇非偶函数；

（2）函数在[，+∞）上为增函数，

证明：二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），则有a＞0，

设x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）＝（ax12﹣4x1+c）﹣（ax22﹣4x2+c）＝a（x12﹣x22）﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）a﹣4]，

又由x1＜x2，则（x1﹣x2）＜0，（x1+x2）a﹣4＞0，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，

即函数f（x）在[，+∞）上为增函数；

（3）二次函数f（x）＝ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），

则有a＞0且16﹣4ac＝0，变形可得ac＝4，

f（x）＝ax2﹣4x+c，其对称轴为x，

又a＞0，分2种情况讨论：

①，1时，即a＞2时，f（x）在[1，+∞）上递增，

此时g（a）＝f（1）＝a+c﹣4＝a4；

②，1时，即0＜a＜2时，此时g（a）＝f（）＝0，

则g（a）；

当0＜a≤2时，g（a）＝0，当a＞2时，g（a）＝a4≥24＝0，

综合可得：y＝g（a）的值域为[0，+∞）．