Question

椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k₁和k₂．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k₁•k₂的值；

（3）探讨k₁+k₂是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k₁+k₂的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．

（2）直线l：y=-x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．

（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x-1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率

公式化简求解即可．

【解析】
（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为

（2）直线l：y=-x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），

由消y得7x2-8x-8=0，有，．

（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，-），

则，，故k1+k2=2．

当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x-1），设A（x1，y1）B（x2，y2），

由消y得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，

有，.

=