Question

已知函数，无穷数列的首项．

（1）如果，写出数列的通项公式；

（2）如果（且），要使得数列是等差数列，求首项的取值范围；

（3）如果（且），求出数列的前项和．

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）化简函数为分段函数，然后求出．

（2）由是等差数列，求出公差，首项，然后求解的范围．

（3）当时，求出前项和，当时，当时，分别求出项和即可．

【解析】
（1）函数

又且，．

（2）因为是等差数列，则，，

由分段函数的解析式及等差数列的性质有，公差．

当时，有,符合题意．

当时，，

由得，得，,

又,则无解．

当时，，

由得，得，此时,满足．

综上所述，可得的取值范围是或．

（3）当时，，

数列是以为首项，公差为的等差数列，

．

当时，，

时，．

时，.

时，

又也满足上式，

当时，，

时，．

时，.

时，

又也满足上式，．

综上所述：．