Question

设函数（且）

（1）若函数存在零点，求实数的最小值；

（2）若函数有两个零点分别是，且对于任意的时恒成立，求实数的取值集合.

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)由题意列出不等式组，令，求出对称轴，若在区间上有解，则解不等式即可求得k的范围；(2)由韦达定理计算得，利用指数函数单调性解不等式，化简得，令

，求出函数在区间上的值域从而求得m的取值范围.

(1)由题意知有解，则

有解， ①③成立时，②显然成立，因此

令，对称轴为：

当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因此若在区间上有解，

则，解得，

又，则，k得最小值为；

(2)由题意知是方程的两根，则

，，

联立解得 ，解得，所以在定义域内单调递减，

由可得对任意的恒成立，

化简得，令，，

对成立，所以在区间上单调递减，

，所以