Question

已知函数的定义域为，对于任意实数，，都有，当时，.

（1）求的值；

（2）证明：当时，.

（3）证明：在上单调递减.

（4）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.

【解析】

（1）令，，化简后可得的值.

（2）设，由题设可得，从而得到，结合可得.

（3）利用单调性的定义可证在上单调递减.

（4）原不等式等价于，利用单调性和（1）中的结论可得对任意的恒成立，参变分离后可求的取值范围.

（1）令，，∴，

∵时，，∴，∴.

（2）设，，则，

∴，∵，∴，即.

（3）任取，且，

则

，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴在上单调递减.

（4），∴，

令,则，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当等号成立，

故即.