Question

如图在四棱锥中,底面为矩形,,,平面平面,为等腰直角三角形,且,为底面的中心.

(1)求异面直线与所成角的余弦值;

(2)若为中点,在棱上,若,,且二面角的正弦值为,求实数的值.

Answer

（1）.（2）.

【解析】

（1）根据面面，，得到面，以为原点建立空间直角坐标系，得到，的坐标，根据向量夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值；（2）设，从而得到点坐标，结合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量为，通过法向量表示出二面角的余弦值，根据其正弦值为，列出关于的方程，求出的值.

（1）∵为等腰直角三角形，

∴，

∵面面，

面面，面

∴面，

∵底面为矩形， 所以，，三条线两两垂直.

以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

知，，，，，

，，

，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）结合（1）知，面，

取平面的法向量.

∵，，，

∴，∴，

设平面的法向量为，

又，，

，即，

令，得，

又因为二面角的正弦值为，

所以，

而，

即，

解得.