Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，点E、F分别是AB和PC的中点．

(1)求证：AB⊥平面PAD；

(2)求证：EF//平面PAD．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）证明PA⊥AB，AD⊥AB，证得AB⊥平面PAD．

（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得 FG∥PD，再由矩形的性质得 EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．

（1）∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥AB．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

这样，AB垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴AB⊥平面PAD．

（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，

∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．

故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．