Question

如图，在四棱柱中，点和分别为和的中点,侧棱底面.

（1）求证：//平面；

（2）求二面角的正弦值

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据题意,以为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,可通过证明与平面的法向量垂直,来证明//平面.

（2）根据（1）中建立的平面直角坐标系,分别求得平面的法向量与平面的法向量,即可求得两个平面夹角的余弦值,结合同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.

（1）证明：根据题意,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立如下图所示的空间直角坐标系:

点和分别为和的中点, ,

则,则

,则

所以

依题意可知为平面的一个法向量

而

所以

又因为直线平面

所以平面

（2）

设为平面的法向量,

则,即

不妨设,可得

设为平面的一个法向量,

则,又,得

不妨设,可得

因此有,

于是

所以二面角的正弦值为