Question

如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，，点M在上，N为的中点，.

（1）求证：平面平面；

（2）当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用圆的性质和圆台高的性质可以证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面；

（2）求可知：，故分别，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.利用空间向量根据已知可以求出圆台的高，最后利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.

（1）在中，因为N为中点，∴.

在圆台中，因为底面

∴，，平面.

∴平面.

又平面

∴平面平面

（2）当时，，故分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

设，则，，

故，.

所在平面的法向量为.

记与底面，所成角为

则，解得：.

∴

设平面的法向量为

由得：

平面的法向量为，记二面角的大小为，

则.

∴二面角的余弦值为.