Question

如图，A，B为椭圆的左、右顶点，直线过椭圆C的右焦点F且交椭圆于P，Q两点.连结并延长交直线于点M.

（1）若直线的斜率为，求直线的方程;

（2）求证：A，Q，M三点共线.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）设，计算出的值，最后求出直线的斜率，最后求出直线的方程；

（2）根据直线的斜率为零不为零进行分类讨论. 直线的斜率为零时，显然成立；直线的斜率不为零时，设出直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，只要计算出就可以证明出A，Q，M三点共线.

（1）设，所以，由题意可知：，

则.

∴，∴直线的方程为：

（2）当垂直于y轴时，方程为，此时显然有A，Q，M三点共线；

当不垂直于y轴时，设方程为，，

则直线方程为，令得，，即.

∴

∵

∴

∴A，Q，M三点共线.