Question

已知函数，其中.

（1）若是定义在上的单调函数，求实数a的取值范围；

（2）当时，判断与的图象在其公共点处是否存在公切线？若存在，求满足条件的a值的个数；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）或；（2）存在，理由见解析.

【解析】

（1）对函数求导，根据实数a的不同取值进行分类讨论，最后可以根据函数的单调区间求出实数a的取值范围；

（2））假设，的图象在其公共点处存在公切线，对两个函数分别求导，根据点在函数图象上，和切线的斜率列出方程组，化简得到关于a的方程，构造新函数，根据新函数的零点情况进而可以判断出方程的根的情况，最后可以判断出是否存在公切线.

（1）.

当时，，故在上单调递减，满足题意；

当时，要使得在上单调，则恒有.

∴，解得：.

综上，或

（2）假设，的图象在其公共点处存在公切线，

则

由①可得：

∴.

将代入②，则，即：.

令，则，故在上单调递减，在上单调递增.

又，且当，；当，

∴在有两个零点，即方程在有两个不同的解.

所以，与的图象在其公共点处存在公切线，满足条件的a值有2个