Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA₁的中点．

（1）证明：A₁B₁⊥C₁D；

（2）若AA₁＝4，求三棱锥A﹣MDE的体积．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）通过证明AB⊥CD，AB⊥CC1，证明A1B1⊥平面CDC1，然后证明A1B1⊥C1D；
（2）求出底面△DCE的面积，求出对应的高，即点到底面DCE的距离，然后求解四面体M-CDE的体积，由三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积得结论.

（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，

∴AB⊥CD，AB⊥CC1，CD∩CC1＝C，

∴AB⊥平面CDC1，

∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面CDC1，

∵C1D平面CDC1，

∴A1B1⊥C1D；

（2）【解析】
三棱锥A﹣MDE的体积就是三棱锥M﹣CDE的体积，

AC＝BC＝2，D，E分别为棱AB，BC的中点，

M为棱AA1的中点．AA1＝4，所以AM＝2，AB⊥CD，

三棱锥A﹣MDE的体积：．