Question

设函数的定义域为I，区间，记.证明：

（1）函数在区间D上单调递增的充要条件是：，都有；

（2）函数在区间D上单调递减的充要条件是：，都有.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递增，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递增，得出，即可证明；

（2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出在D上单调递减，再证必要性，不妨设，则，由函数在D上单调递减，得出，即可证明；

证明：（1）充分性：不妨设，则

即在D上单调递增.

必要性：若在D上单调递增.

则，不妨设，则.

.

即，都有.

（2）充分性：不妨设，则，

，即，

在D上单调递减.

必要性：若在D上单调递减.

，不妨设，则.

即，都有.