Question

已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点,,P是它们在第一象限的交点,且,则的最小值为__________________.

Answer

【解析】

由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值.

由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，

在双曲线的右支上，

由椭圆的定义，

由双曲线的定义，

所以有，，

因为，

由余弦定理可得，

整理得，

所以

，当且仅当时取等号，

故答案是：.