Question

已知函数f（x）＝ax－3lnx（a为常数）与函数g（x）＝－xlnx在x＝1处的切线互相平行．

（1）求a的值；

（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer

（1）a＝2（2）最小值为3－3ln；最大值为2

【解析】

（1）由导数的几何意义可得f′（1）＝g′（1），再求解即可；

（2）先利用导数研究函数数y＝f（x）在[1，2]的单调性，然后求最值即可得解.

【解析】
（1）f′（x）＝a－（x>0），g′（x）＝－（lnx＋1），由已知有f′（1）＝g′（1），

即，解得a＝2.

（2）由（1）得：f（x）＝2x－3lnx.

令f′（x）＝2－＝0，解得x＝，

∴当x∈（1,）时，f′（x）<0，f（x）单调递减；

当x∈（,2）时，f′（x）>0，f（x）单调递增．

又f（1）＝2，f（2）＝4－3ln2，f（2）－f（1）＝2－3ln2＝ln<0.

∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（）＝3－3ln，最大值为f（1）＝2，

故函数f（x）在[1，2]上的最小值为3－3ln，最大值为2.