Question

已知函数.

（1）若，且在上存在零点，求实数的取值范围；

（2）若对任意，存在使，求实数的取值范围；

（3）若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）10.

【解析】

（1）由时，，令，当时，分离参数，再令，得出的单调性，从而得出的值域，可得实数a的取值范围；

（2）由得，即令，则的对称轴为，由得对称轴的范围，从而得当的最小值为，再由，得，可得的范围；

（3）的对称轴为,根据对称轴与区间的关系分情况讨论的单调性,求出最值,根据列出不等式组,化简得出的取值范围,从而得到实数的最大值.

（1）由时，，令，当时，，

令，则的定义域为，设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，因为是定义域为的奇函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，或，所以或，所以要使在上存在零点，则需或.

故：实数a的取值范围是或.

（2）由得，即令，则的对称轴为，当时，对称轴，

所以当时，的最小值为，而，所以，

所以要使对任意，存在使，则需；

（3）的对称轴为.
①若,则在上单调递增,,
由,得,
解不等式组,得.
②若,即时,在上单调递减,在单调递增,且，
.
,即,得.
③若,即时,在单调递减,在单调递增,且 ，

,即,则.
④若,即时,在上单调递减,
,
,即,则.
综上, 的取值范围是,的最大值为10.