Question

已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）若，求面积的最小值．

Answer

（1）抛物线C的方程为．焦点坐标为，准线方程为（2）面积的最小值为4

【解析】

（1）根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；

（2）直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．

【解析】
（1）由抛物线C：经过点知，解得．

则抛物线C的方程为．

抛物线C的焦点坐标为，准线方程为；

（2）由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，

由消去x，得．

设，，则，．

因为，所以，即，

解得（舍去）或．

所以解得．

所以直线AB：．

所以直线AB过定点．．

当且仅当，或，时，等号成立．

所以面积的最小值为4．