Question

已知函数在单调递减，在，单调递增．

（1）当时，求的值域；

（2）当，时，求的最小值；

（3）当时，对于（2）中函数和函数，若对于任意的，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据条件可知；

（2）可改写为，进而根据条件可判断出最小值；

（3）时，分别求出和的值域，根据条件可知，进而求出的取值范围．

（1）由题意可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，即的值域为，；

（2），

因为，且，所以，，

根据题意，在时取得最小值，最小值为；

（3）时，，最小值为，又，，即有最大值为3，

，在，递增，，，

故的值域是，，

若对任意，，均存在，，使，

只需，解得：．

故的取值范围为，．