Question

设函数，其中．

（1）求函数在的最小值的表达式；

（2）若函数和的值域相同，求实数的取值范围；

（3）记，，若，求实数的值．

Answer

（1）；（2）；（3）或者，

【解析】

（1）根据对称轴和1的相对位置不同讨论最小值。（2）将值域求出，通过换元求出的值域注意定义域的变化。（3）先求出A的范围，对B也先换元处理后因为，根据限定定义域的范围限定值域范围，从而求出实数的值。

（1）对称轴

当时

，单调递增，所以

即

当时

在的最小值

即

综上所述：

（2）和的值域相同，易得在对称轴取得最小值

，所以。

令，，

所以的值域也为

对称轴也为，

所以只需满足即可，即

（3）当时，值域

又当时，因为时，值域

，此时令，

所以此时要满足，即或者。

即或者，