Question

对于函数，且的定义域为，．

（1）求实数的值，使函数为奇函数；

（2）在（1）的条件下，令，求使方程，有解的实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）当时，；当时，；

【解析】

（1）先利用求得，再验证即可；

（2）求得此时函数，由此得解；

（3）令，当时，问题等价为对恒成立即可，当时，问题等价为对恒成立，由此得解．

（1）由得，，

事实上，当时，，此时，

故当时，函数为奇函数；

（2）依题意，，当，时，显然函数为增函数，故，

为使方程，有解，则即可；

（3）易知，当时，函数单调递增，原不等式成立即为（3），

故只要即可，

令，则，

，

，

对恒成立即可，

由得，

由得，

；

同理，当时，函数单调递减，

故只要即可，

对恒成立即可，可得；

综上可知，当时，；当时，；