Question

在长方体中，，，、分别是所在棱、的中点，点是棱上的动点，联结，．如图所示．

（1）求异面直线，所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）（理科）求以、、、为顶点的三棱锥的体积．

（文科）求以、、、为顶点的三棱锥的体积．

Answer

(1) .(2)（理科）2；（文科）2.

【解析】

（1）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线、所成角.

（2）（理科）由,,求出,由此能求出以、、、为顶点的三棱锥的体积.

（2）（文科）由,能求出以、、、为顶点的三棱锥的体积.

（1）以为原点,为轴,为轴,为轴,

建立空间直角坐标系,

由题意得,,

,,

,,

设异面直线、所成角为,

则

,

∴.

（2）（理科）∵,,

∴,,

,

∴,

∴,

∴以、、、为顶点的三棱锥的体积：

.

（2）（文科）∵,

∴以、、、为顶点的三棱锥的体积：

.