Question

食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？

Answer

（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大, 且最大收益为万元.

【解析】

试题（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.

试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，

∴

（2），

依题得，即，

故.

令，则，

当时，即时，，

∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.