Question

已知定义域为R的函数是奇函数

（1）求、的值；

（2）判断的单调性（不需要证明），并写出的值域；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）在上单调递增，；（3）.

【解析】

（1）根据奇函数的性质，由，可求得的值；

（2）根据函数为增，则为减，也为减的性质可得函数的单调性；利用不等式的性质可得的值域；

（3）根据奇函数的性质，将不等式等价转化为对任意的恒成立，再利用单调性将不等式进一步转化为对任意的恒成立，从而求得的取值范围.

（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，

所以，又.

（2）由（1）得，

所以在上单调递增；

因为，

所以的值域为.

（3）因为函数为奇函数，

所以原不等式对任意的恒成立，

所以任意的恒成立，

令，则

所以，

所以.