Question

已知函数：

（1）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

Answer

（1）x时，，最小值为， x时，最大值为1；（2）．

【解析】

（1）根据三角函数的单调性的性质；

（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．

（1）∵，

∴2x∈[，]，

∴sinx（2x）≤1，即f（x）∈[，1]，

当x时，f（x）取得最小值，最小值为，

当x时，f（x）取得最大值，最大值为1；

（2）函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，

则g（x）＝2sin[2（x）]+1＝2sin（2x）+1，

令g（x）＝2sin（2x）+1＝0，解得xkπ或xkπ，k∈Z，

即g（x）的零点相离间隔依次为或，

故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b﹣a的最小值为109．