Question

设为奇函数,为常数.

（1）求的值

（2）判断函数在上的单调性,并说明理由;

（3）若对于区间上的每一个值,不等式恒成立,求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）答案见解析（3）

【解析】

(1)因为为奇函数,根据对定义域内的任意都成立,即可求得答案;

(2)可根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性;

(3)令,因为在上是减函数,由(2)知是增函数,,对于区间上的每一个值,不等式恒成立,即恒成立,即可求得答案.

(1)为奇函数

对定义域内的任意都成立

,解得或(舍去)

综上所述,的值为.

(2)由(1)知:,

任取,设,

则

综上所述,在上是增函数.

(3)令

在上是减函数

由(2)知是增函数

对于区间上的每一个值,不等式恒成立

即恒成立

综上所述,实数的取值范围是.