Question

已知函数，其中，.

（1）若，，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（2）若，，且在单调递增，求的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）代入,可求得的解析式.代入不等式化简,将不等式化简为关于的二次函数形式,结合即可求得的取值范围.

（2）解法1:根据条件可求得函数的对称轴,且由可得的表达式.再根据在单调递增,可得关于的不等式组,解不等式组即可求得的最大值.

解法2:根据在单调递增可先求得的取值范围,结合可得函数的对称轴, 且由可得的表达式.根据可求得的值,再求得于的值,即可得的解析式.进而求得满足在单调递增时的最大值.

（1）∵,

∴

∴,即

∵

∴

∴当时,

∴

（2）解法1：∵

∴为图像的对称轴

又

∴

两式相减得

∴

∵在单调递增,令

∴在单调递增

∴,则,

①+②得

∴

∵

∴当时取到最大值为

解法2：在单调递增

∴

∴

∵

∴为图像的对称轴

又

∴

两式相加得

∵

∴或

①当时,,得,

②当时,得,

当,时

时,

则满足条件在单调递增,所以的最大值为.