Question

已知圆，椭圆（）的短轴长等于圆半径的倍，的离心率为．

（1）求的方程；

（2）若直线与交于两点，且与圆相切，证明：为直角三角形．

Answer

（1）； （2）证明见解析.

【解析】

(1)根据椭圆的几何性质即可求出的方程；

(2)法一，分直线斜率不存在和存在两种情况，求出点坐标利用向量数量积即可证明，法二，分和轴平行和不平行两种情况，后和法一一样.

（1）因为圆的半径为，

所以的短轴长为，

所以，解得．

因为的离心率为，所以 ①，

又因为，所以 ②，

联立①② ，解得，

所以所求的方程为

（2）证明：证法一：①当直线斜率不存在时, 直线的方程为．

当时，

所以

当时，

所以，

综上，

所以为直角三角形．

②当直线斜率存在时，设其方程为

直线与圆相切，

即，

由得，，

所以

所以

所以

综上所述: 所以为直角三角形．

证法二：①当直线方程为时,

所以所以为直角三角形．

②当直线方程为时，

所以所以为直角三角形．

③当直线不与轴平行时，设其方程为

因为直线与圆相切，所以,即

由得,

所以

所以所以为直角三角形．

综上所述: 为直角三角形．