Question

已知函数

（1）当时，证明：；

（2）若在上有且只有一个零点，求的取值范围．

Answer

（1）见解析； （2）.

【解析】

(1) 将的值代入，再求出函数的最小值，即可证明；

(2)对进行分类讨论，当可得函数有无数个零点，求导数，确定为负故符合题意，当时，求导函数，对导数再求一次导，再对进行分类讨论，同时利用奇偶性可得当时在上有且只有一个零点，当时，利用零点定理取一个特值，判断出不合题意，得出的取值范围.

（1）当时，，

所以的定义域为R,且故为偶函数．

当时,，

记，所以．

因为，所以在上单调递增，

即在上单调递增，

故，

所以在上单调递增，所以，

因为为偶函数,所以当时,.

（2）①当时，，令，解得，

所以函数有无数个零点，不符合题意；

②当时，，当且仅当时等号成立，故符合题意；

③因为，所以是偶函数，

又因为，故是的零点.

当时，，记，则.

1）当时，，

故在单调递增，故当时，即，

故在单调递增，故

所以在没有零点.

因为是偶函数,所以在上有且只有一个零点.

2）当时，当时，存在，使得，且当时，单调递减，故，

即时，，故在单调递减，，

又，所以，

由零点存在性定理知在上有零点，又因为是的零点，

故不符合题意；

综上所述，a的取值范围为