Question

已知圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．

(2)从圆C外一点P(x₁，y₁)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

Answer

(1) y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0；(2)

【解析】

（1）首先利用待定系数法设出切线的方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径求出切线方程；（2）PM的距离用P到圆心C的距离与半径来表示，建立PO与与PC的关系，求出P点的轨迹为一条直线，然后将求PM的最小值问题转化为原点到直线的距离问题,

解:(1)将圆C整理得(x＋1)2＋(y－2)2＝2．

①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，

∴圆心到切线的距离为，即k2－4k－2＝0，解得k＝2±．

∴y＝(2±)x；

②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，

∴圆心到切线的距离为，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1．

∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．

(2)∵|PO|＝|PM|，

∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．

当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，

∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，

解得方程组得，

∴P点坐标为．