Question

设线段，动点在以为直径的半圆周上运动，延长至点，使得（常数），则点所描出的曲线长度为__________．

Answer

【解析】

以为极点，以为极轴建立极坐标系，设，，，则结合为直角三角形，点的极坐标方程，化为直角坐标方程，可以求出即可求解．

以为极点，以为极轴建立极坐标系，设在上半圆周上，

设，，，

则

，

点的极坐标方程为

将点的极坐标方程化为直角方程为:

即，

即

所以点在以为圆心，为半径的圆周上，

又因为该圆过原点，与轴正半轴交于点，

与轴正半轴交于点,

又圆心与和三点共线，如图

所以点在以为圆心，为半径的半圆,

所以点所描出的曲线长度为：.

故对答案为：.