Question

在平面直角坐标系中，点的坐标为，抛物线的方程为，过作动直线交抛物线于两点，设线段的中点为.

（1）若与重合，求直线的方程；

（2）求直线的斜率的取值范围.

Answer

(1) ; (2)

【解析】

（1）由已知利用“点差法”求得直线斜率，代入直线方程点斜式得答案；
（2）当直线斜率不存在时，求得的坐标，可得的斜率，当直线的斜率存在时，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系求得的坐标，可得所在直线斜率，然后利用基本不等式求最值．

(1)设，如图

与重合，即为中点.则,

则有,

两式相减得,

即

所以直线的方程为：，即.

(2)当直线 轴时， ，的斜率为0;

当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为

联立，得.

则，.

所以

所以

当时,

由当且仅当时取等号.

所以此时,

当时,

同理可得此时

所以直线的斜率的取值范围是.