Question

如图，在四边形中，，，，与交于点，若平面，.

（1）求证：；

（2）求二面角的大小；

（3）求异面直线所成的角的大小.

Answer

(1) 证明见解析； (2) ； (3)

【解析】

(1)由条件可得,又有，则平面，从而可证.
(2)建立空间坐标系，分别求出平面和平面的法向量，从而求出答案.
(3) 建立空间坐标系,求出向量的坐标，利用向量的方法求出答案.

(1) 平面,且平面

所以，又，且

所以平面，又平面

所以.

(2)由，平面

以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图

在三角形中，，则为正三角形,

因为与交于点，，即

又因为中,,所以边的中点，

所以

由,,则,

在直角三角形中，,,所以.

, ,

设平面的一个法向量

,，

则 即

取，则
设平面的一个法向量

,

则 即

取，则

由

，

所以二面角的大小为

(3) ,

所以异面直线所成的角的大小为.