Question

设常数，已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，将作为点的坐标，作为点的坐标，通过关系式，可以看作是坐标平面上点的一个变换，它将平面上的点变到这个平面上的点.

（1）分别写出和用表示的关系式；

（2）设，当点在圆上移动时，求证：点经该变换后得到的点落在一个圆上，并求出该圆的方程；

（3）求证：对于任意的常数，总存在曲线，使得当点在上移动时，点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图像，并写出对于正常数，满足条件的曲线的方程.

Answer

(1) (2) 证明见解析， (3) 证明见解析，

【解析】

（1）运用复数的乘法和共轭复数的概念，再根据复数相等得出和用表示的关系式；
（2）利用转换，代换的方法，求轨迹方程；
（3）由（1）的结论和满足的方程，代入计算可得所求方程．

(1)由复数，和,

所以.

(2)证明：当时，,

两边平方相加可加得.

当点在圆上移动时，满足.

则点在圆上运动.

(3)证明：由（1）有

且点的轨迹是二次函数的图像.

可得，即.

化简得.

对于正常数，曲线的方程为.

当点在上移动时，点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图象．