Question

在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，且三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为_____．

Answer

【解析】

设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，求出R，设M为△ABC的中心，N为AB的中点，

求出OM的长，再证明∠NPC就是直线PC与平面PAB所成角,利用直角三角函数求解.

设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，

则S球＝4πR2，故R，

设M为△ABC的中心，N为AB的中点，

则OM⊥平面ABC，且OC，NC，MC，

∴OM2，

∵PA⊥平面ABC，故PA＝2OM＝4，∴PN，且PA⊥CN，又CN⊥AB，AB∩PA＝A，

∴CN⊥平面PAB，

所以∠NPC就是直线PC与平面PAB所成角.

∴tan∠NPC．