Question

已知函数．

（1）若k≠0，试讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，求实数k的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）（﹣∞，0]∪[1，+∞）．

【解析】

（1）对k分和两种情况结合函数奇偶性的定义讨论；（2）设t＝ex，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，对k分和，结合复合函数的单调性分析得解.

（1）根据题意，函数，

则f（﹣x）＝ke﹣x+ex﹣1，

当k＝1时，有f（x）＝f（﹣x），函数f（x）为偶函数，

当k≠1时，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函数f（x）为非奇非偶函数；

（2）根据题意，设t＝ex，x∈（﹣∞，0]，则有0＜t≤1，则y＝kt1，

又由t＝ex为增函数，对于y＝kt1，

当k≤0时，y＝kt1在（0，1]为减函数，函数f（x）在R上递减，符合题意，

当k＞0时，函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，

此时，若已知f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，必有1，解可得k≥1，

综合可得：k的取值范围为（﹣∞，0]∪[1，+∞）．