Question

对于函数f（x），若f（x）的图象上存在关于原点对称的点，则称f（x）为定义域上的“伪奇函数”．

（1）若f（x）＝ln（2^x+1）+m是定义在区间[﹣1，1]上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；

（2）试讨论f（x）＝4^x﹣m•2^x+2+4m²﹣3在R上是否为“伪奇函数”？并说明理由．

Answer

（1）；（2）当时，函数f（x）为“伪奇函数”，当时，函数f(x)不是“伪奇函数”.

【解析】

（1）等价于﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，令，，利用函数的单调性分析得到2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4，

解之即得.（2）假设存在实数x满足题意，等价于（2x+2﹣x）2﹣2﹣4m（2x+2﹣x）+8m2﹣6＝0有解，令n＝2x+2﹣x（n≥2），则需n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，再分类讨论得解.

（1）因为f（x）＝ln（2x+1）+m是定义在区间[﹣1，1]上的“伪奇函数”，

所以存在x使得f（x）+f（﹣x）＝0成立，

即﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，

令，，

而函数在上单调递减，在（1，2]上单调递增，

故由复合函数的单调性法则可知，

函数g（t）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，

且，

故要使﹣2m＝ln（2x+2﹣x+2）在[﹣1，1]上有解，

则2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4，

解得.

（2）假设存在实数x使得4x﹣m•2x+2+4m2﹣3+4﹣x﹣m•2﹣x+2+4m2﹣3＝0成立，

即4x+4﹣x﹣4m•2x﹣4m•2﹣x+8m2﹣6＝0，

即（2x+2﹣x）2﹣2﹣4m（2x+2﹣x）+8m2﹣6＝0，

令n＝2x+2﹣x（n≥2），则需n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，

①当△＝16m2﹣4（8m2﹣8）＜0，即或时，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0无解，此时函数f（x）不为“伪奇函数”；

②当时，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解为满足条件，此时函数f（x）为“伪奇函数”；

③当时，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解为不满足条件，此时函数f（x）不为“伪奇函数”；

④当时，方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0的解为，

解不等式或，

不等式的解为，

不等式的解为，

因为，所以.

此时方程n2﹣4mn+8m2﹣8＝0在[2，+∞）上有解，此时函数f（x）为“伪奇函数”．

综上所述，当时，函数f（x）为“伪奇函数”，当时，函数f(x)不是“伪奇函数”.